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2. 核反应堆物理基础

2. 核反应堆物理基础

2.1 中子与原子核的相互作用

中子按能量可分为三类：

  • 热中子：\(E<1\ \mathrm{eV}\)
  • 超热中子：\(1\ \mathrm{eV}<E<0.1\ \mathrm{MeV}\)
  • 快中子：\(E>0.1\ \mathrm{MeV}\)

中子与原子核的作用方式

势散射

势散射是指中子以波的形式与原子核的势场发生相互作用

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特性：

  • 势散射后，中子改变了运动方向和能量
  • 势散射中子并未进入靶核，散射前后的内能没有变化
  • 势散射前后，中子与靶核系统的动能和动量守恒
  • 核反应表达为：\((n,n)\)
  • 反应堆中不常见

直接作用

入射中子直接与靶核内的某个核子直接发生碰撞，使该核子从原子核里发射出来，而中子却留在靶核内

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特性：

  • 从原子核发射出来的核子是质子，称为 \((n,p)\) 反应
  • 从原子核发射出来的核子是中子，直接回到基态，称为 \((n,n)\) 反应；若同时原子核放出 \(\gamma\) 射线回到基态，称为 \((n,n')\) 反应，也就是中子的非弹性散射作用，由于释放 \(\gamma\) 射线，动能不守恒
  • 需要较高的中子能量，反应堆中不常见

核反应会产生快中子（\(2\ \mathrm{MeV}\)），但会很快被慢化成热中子

复合核的形成

复合核的形成是入射中子被某靶核 \({}_{Z}^{A}X\) 吸收，形成一个新核——称之为复合核 \({}_{Z}^{A+1}X\)。中子的能量转化为复合核的内能，使复合核处于基态以上的激发态（或激发能级），经过一个短暂时间，复合核衰变或分解放出一个粒子（或一个光子）并留下一个余核（称之为后反冲核）。这种作用是核反应堆中子与原子核相互作用的最主要方式

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\[{}_{0}^{1}n+{}_{Z}^{A}X \rightarrow \left({}_{Z}^{A+1}X\right)^{*} \rightarrow {}_{Z'}^{A'}Y+{}_{Z-Z'}^{A+1-A'}b\]

特性：

  • 复合核放出一个质子而衰变，就称为 \((n,p)\) 反应
  • 复合核放出一个 \(\alpha\) 粒子而衰变，称之为 \((n,\alpha)\) 反应
  • 放出的核子是一个中子，而余核又重新直接回到基态，就称这个过程为复合核形成散射反应 \((n,n')\)
  • 复合核放出 \(\gamma\) 射线而衰变，称之为 \((n,\gamma)\)
  • 复合核分裂成两个较轻核，称这一过程为核裂变 \((n,f)\) \[{}_{92}^{235}\mathrm{U}+{}_{0}^{1}n \rightarrow \left({}_{92}^{236}\mathrm{U}\right)^{*} \rightarrow {}_{Z_1}^{A_1}X+{}_{Z_2}^{A_2}X+\nu\,{}_{0}^{1}n+200\ \mathrm{MeV}\]

从相互作用的结果上可以分为两大类：

  • 散射：产物是中子和原来的原子核
    • 弹性散射：动量守恒、动能守恒
    • 非弹性散射：动量守恒
  • 吸收：产物是其他核子或导致裂变
    • 辐射俘获 \((n,\gamma)\)、\((n,p)\)、\((n,\alpha)\) 等 （辐射俘获反应可以在所有的中子能区内发生，但低能中子与中等质量核、重核作用时更易于发生这种反应）
    • 裂变 \((n,f)\)

2.2 中子截面和核反应率

微观截面 \(\sigma\)

定义：平均一个入射中子与一个原子核发生作用的概率大小的一种度量，它的单位为 \(\mathrm{m^2}\)，故称之为微观截面

常用单位：\(1\) 靶（b）\(=10^{-28}\ \mathrm{m^2}=10^{-24}\ \mathrm{cm^2}\)

宏观截面 \(\Sigma\)

\[\Sigma_t=N\sigma_t=\frac{-dI(x)/I(x)}{dx}\]

物理意义1：一个中子与单位体积内所有原子核发生吸收和散射核反应的平均几率大小的一种度量，它的单位是 \(\mathrm{m^{-1}}\)

物理意义2：平均一个中子在介质内穿行每单位距离时与原子核发生作用的概率。

对于由几种核素组成的均匀混合物质或化合物质，宏观截面可以写成：

\[\Sigma=\sum_i N_i\sigma_i\]

平均自由程 \(\lambda\)

定义：中子与原子核发生相互作用前的平均穿行距离（m）

吸收前的碰撞次数：

\[n=\frac{\lambda_a}{\lambda_s}=\frac{\Sigma_s}{\Sigma_a}=\frac{N\sigma_s}{N\sigma_a}=\frac{\sigma_s}{\sigma_a}\]

中子密度：单位体积内的中子数，用 \(n\) 表示

中子注量率/通量密度：

\[\phi=nv\]
  • 单位体积内的所有中子单位时间穿行路程的总和
  • 单位时间穿过单位面积的中子数

总核反应率：单位时间单位体积内的所有中子与介质原子核发生作用的总次数 ——反应堆工程中最关心的量

\[R_t=nv\cdot\Sigma_t\] \[R_t=\phi\cdot\Sigma_t\]

2.3 截面随中子能量的变化

微观吸收截面

在热能区

对于多数轻核，其吸收截面近似地按 \(1/\sqrt{E}\) 规律变化，即服从 \(1/v\) 律，则有：

\[\sigma_a(E)\sqrt{E}=\text{常数}\] \[\sigma_a(E)=\sigma_a(0.0253)\sqrt{\frac{0.0253}{E}} =\sigma_a(2200)\frac{2200(m/s)}{v(E)}\]

但对于不严格服从 \(1/v\) 律的核素，在实际应用中，常常乘上修正因子 \(g\)。对于很多重核和中等核，由于在低能区有共振吸收现象发生，其吸收截面就会偏离 \(1/v\) 律

在超热能区

共振吸收：对于某些核素，当中子的能量和结合能恰好能使复合核激发至某一能级时，其与该核素发生吸收核反应的概率就会突然变得特别大，微观截面随中子能量变化的曲线上将出现陡峭的峰

微观散射截面

  • 非弹性散射截面：非弹性散射具有阈能的特点，且阈能的大小与核素的质量有关，质量数愈大的核，其阈能愈低
  • 弹性散射截面：
    • 多数轻核和中等核素与较低能量中子的散射都是弹性散射。弹性散射截面基本上为常数，一般为几靶
    • 重核在共振能区会出现共振弹性散射，中等核素在高能区会出现共振弹性散射

微观裂变截面

  • 对于原子序数小于 90 的核素，需要的激发能非常大。
  • 对于原子序数大于 90 的核素：
    • 质量数偶数，激发能 \(4\sim6\ \mathrm{MeV}\)
    • 质量数奇数，激发能通常非常低

易裂变核素：用能量较低的中子轰击即可引发核裂变反应的核素（\(^{233}\mathrm{U}\)、\(^{235}\mathrm{U}\)、\(^{239}\mathrm{Pu}\)、\(^{241}\mathrm{Pu}\)）

可裂变核素：用能量较高的中子轰击才可引发核裂变反应的核素（\(^{238}\mathrm{U}\)、\(^{232}\mathrm{Th}\)）

俘获裂变比

\[\alpha=\frac{\sigma_\gamma}{\sigma_f}\]

有效裂变中子数

裂变核素每吸收一个中子后平均裂变产生的中子数：

\[\eta=\frac{\nu\sigma_f}{\sigma_a}=\frac{\nu\sigma_f}{\sigma_f+\sigma_\gamma}=\frac{\nu}{1+\alpha}\]

2.4 共振现象

含有共振现象的有：

  • 弹性散射截面
  • 裂变截面
  • 俘获截面

多普勒（展宽）效应

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  • 靶核不振动，\(6.7\ \mathrm{eV}\) 动能的中子会以很大的几率被 \({}^{238}\mathrm{U}\) 核吸收
  • 燃料温度升高，\({}^{238}\mathrm{U}\) 原子热运动加剧，\(6.7\ \mathrm{eV}\) 动能进入燃料中的中子击中靶核 \({}^{238}\mathrm{U}\) 核的可能性减少；\(6.7\ \mathrm{eV}\) 左右的中子与靶核进行反应的可能性增加，即 \(6.7\ \mathrm{eV}\) 处的共振峰降下，偏离共振峰（附近）能量的中子吸收截面增加

2.5 原子核裂变过程

转换比（Conversion Ratio，CR）

反应堆中每消耗一个易裂变核所产生的新的易裂变核的个数：

\[CR=\frac{\text{易裂变核素的生成率}}{\text{易裂变核素的消耗率}} =\frac{\text{堆内可转换物质的辐射俘获率}}{\text{堆内所有易裂变物质的吸收率}}\]

增殖比（Breeding Ratio，BR）

\[BR=CR>1\]

实现转换与增殖的条件（忽略中子泄露和非燃料材料的吸收）：

  • 转换条件：\(\eta>1\)（需要有 1 个中子用于裂变）
  • 增殖条件：\(\eta>2\)（还需要有 1 个中子用于转换）

核反应堆功率

  • 在一般计算时，可以近似地认为 \({}^{235}\mathrm{U}\) 每次裂变可利用的能量为 \(E_f\approx200\ \mathrm{MeV}\)
  • \(1\ \mathrm{MeV}=1.6\times10^{-13}\ \mathrm{J}\)，那么，每次 \({}^{235}\mathrm{U}\) 裂变释放出的能量等于 \(3.2\times10^{-11}\ \mathrm{J}\)
  • \(1\ \mathrm{J}\) 的能量需要 \(3.12\times10^{10}\) 个 \({}^{235}\mathrm{U}\) 发生核裂变反应
  • 核反应功率（瓦）为：
\[P=R_fVE_f=\Sigma_f\bar{\phi}VE_f=\frac{\Sigma_f\bar{\phi}V}{3.12\times10^{10}}\ \mathrm{J/s}\] \[\bar{\phi}=\frac{3.12\times10^{10}P}{V\Sigma_f}\]

总裂变率：

\[F_f=\Sigma_f\bar{\phi}V=3.12\times10^{10}P\]

总吸收率：

\[F_a=\Sigma_a\bar{\phi}V=(\Sigma_f+\Sigma_\gamma)\bar{\phi}V=(1+\alpha)\Sigma_f\bar{\phi}V=(1+\alpha)\times3.12\times10^{10}P\]

每天（1 天 \(=86400\ \mathrm{s}\)）消耗掉的易裂变核质量为：

\[G=\frac{86400\times F_a\times A}{N_0\times10^3}=4.48\times10^{-12}\times(1+\alpha)\times P\times A\ \mathrm{kg/d}\]

如果是裂变掉的话，就不用乘 \(1+\alpha\) 了

年负荷因子：

\[f=\frac{\text{1年实际的发电量}}{\text{按额定功率计算的发电量}}\]

瞬发中子：裂变的瞬间（\(10^{-14}\ \mathrm{s}\) 或更短）放出，\(>99\%\)，能量高，\(0.05\sim10\ \mathrm{MeV}\) 范围，平均 \(2\ \mathrm{MeV}\)，各向同性

缓发中子：裂变碎片衰变放出，裂变后几秒到数十秒放出，平均能量约在 \(0.5\ \mathrm{MeV}\)，缓发中子份额 \(\beta=0.65\%\)